الرياضيات المتناهية الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 3 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 1

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 (- 1 - 1 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$1 (- 1 - 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.2.2.2

اطرح $3$ من $- 1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 4 - 1 (1 \cdot 1 - 5 \cdot 3) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 (1 - 5 \cdot 3) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.3.2.1.2

اضرب $- 5$ في $3$ .

$1 \cdot - 4 - 1 (1 - 15) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.3.2.2

اطرح $15$ من $1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 14 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 14 + 1 (1 \cdot 1 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 1.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 14 + 1 (1 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 14 + 1 (1 + 5)$

خطوة 1.4.2.2

أضف $1$ و $5$ .

$1 \cdot - 4 - 1 \cdot - 14 + 1 \cdot 6$

خطوة 1.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4 - 1 \cdot - 14 + 1 \cdot 6$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 1$ في $- 14$ .

$- 4 + 14 + 1 \cdot 6$

خطوة 1.5.1.3

اضرب $6$ في $1$ .

$- 4 + 14 + 6$

خطوة 1.5.2

أضف $- 4$ و $14$ .

$10 + 6$

خطوة 1.5.3

أضف $10$ و $6$ .

$16$

خطوة 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & 3 - 1 & 0 - 1 & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & - 1 & 1 & 0 \\ 5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & - 1 & 1 & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 \cdot 1 & 0 - 5 \cdot 1 & 0 - 5 \cdot 0 & 1 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 & - 5 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & - 4 & - 4 & - 5 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 & - 5 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 4 + 4 \cdot - 1 & - 5 + 4 (\frac{1}{2}) & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 1 + 4 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.4.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 8 & - 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 3 & - \frac{1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \end{array}]$

خطوة 4.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{1}{2} + \frac{3}{8} & - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} & 0 - \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \end{array}]$

خطوة 4.6.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{7}{8} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \end{array}]$

خطوة 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{3}{8} & 0 - \frac{1}{4} & 0 + \frac{1}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{7}{8} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \end{array}]$

خطوة 4.7.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \frac{5}{8} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{7}{8} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \end{array}]$

خطوة 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{8} - \frac{7}{8} & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} & \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{7}{8} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \end{array}]$

خطوة 4.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{7}{8} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \end{array}]$

خطوة 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{7}{8} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \end{array}]$